Introduction

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Pénalisation de la profondeur par un amortissement

Caractéristiques générales


Revenons maintenant à la question de la fonction d'amortissement.
Comme nous l'avons vu (§), le but de cette fonction
est de réduire la valeur de l'indice de qualité pour les feuilles
profondes.  Soit f une telle fonction, elle doit être décroissante,
positive et maximisée par 1. De plus, l'amortissement est pris en
compte uniquement au-delà de la profondeur 1 (f(1)=1).  f doit
donc répondre au schéma ().


Il existe une infinité de fonctions répondant à ces critères, et nous
en étudions maintenant quatre types parmi les plus naturels : les
fonctions linéaires, inverses, exponentielles et de seuillage. Par
convention, nous appelons  la profondeur telle que .
Par souci de clarté, nous associons systématiquement deux indicateurs
aux amortissements : ) et
 est un coefficient positif qui exprime la vitesse
de l'amortissement (plus  est grand, plus l'amortissement est
rapide). Pour faciliter la compréhension de , nous
l'exprimerons en fonction de .


Fonction linéaire

Nous avons défini une fonction d'amortissement linéaire type à l'aide
de l'équation paramétrique (). Elle permet d'obtenir
un amortissement continu sur la profondeur.


Cet amortissement est inversement proportionnel à la profondeur, il
répond à l'équation (). La fonction inverse se
différencie de la fonction linéaire par une décroissance non
constante, plus rapide à faible profondeur. Cette variation de la
vitesse se caractérise par une courbe concave (). De plus, cet amortissement n'atteint jamais zéro.




Fonction exponentielle




Un autre amortissement est obtenu à l'aide d'une fonction
exponentielle (), son comportement est semblable
à celui de la fonction inverse. L'amortissement est légèrement moins
important tant que la profondeur ne dépasse pas , en
revanche, il devient plus puissant au delà.




Fonction de seuillage

Pour la définition de cette fonction (), nous avons
choisi  comme profondeur de seuil. L'amortissement ainsi
fourni est totalement différent des précédents. Avant d'atteindre
, la courbe est convexe, c'est-à-dire que l'amortissement
accélère, ensuite elle devient concave et l'amortissement ralentit
( ).  Ainsi, il est facile de déterminer
une profondeur limite, au-delà de laquelle l'indice de qualité est
fortement pénalisé. Dans ce cas,  ne suffit pas pour définir
, il faut lui adjoindre un autre . Pour clarifier le rôle
de , nous l'exprimons en fonction de 
() :



Ainsi, avec un  élevé (), il n'y a quasiment
pas d'amortissement avant d'atteindre le seuil () alors
qu'avec un  faible (), l'amortissement est
effectif même avant le seuil (),
d'où la nécessité de paramétrer la fonction de seuillage pour que
f(1)=1.