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À l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolat. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 kg de lait. Il a deux spécialités : l'oeuf Extra et l'oeuf Sublime. Un oeuf Extra nécessite 1 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 kg de lait. Un oeuf Sublime nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait. Il fera un profit de 20 € en vendant un oeuf Extra, et de 30 € en vendant un oeuf Sublime.
Combien d'oeufs Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible ?
Notons x1 le nombre d'oeufs Extra et x2 le nombre d'oeufs Sublime à produire. Le chocolatier cherche à maximiser la fonction objectif :
max z = 20 x1 + 30 x1
Étant données les réserves du chocolatier, les contraintes suivantes devront être satisfaites
x1 + 3 x2 ≤ 18
x1 + x2 ≤ 8
2 x1 + x2 ≤ 14
Évidemment, on a encore les deux contraintes
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Chaque inéquation définit un demi-plan. Le domaine admissible D est l'intersection de tous les demi-plans. Les lignes de niveau z = c de la fonction objectif sont les droites parallèles, toutes perpendiculaires à son vecteur normal, ici (20, 30). La dernière ligne de niveau qui touche le domaine D, c'est z = 210. Le point optimal (3, 5) est l'intersection de D et de cette ligne.
S'il veut maximiser son bénéfice, le chocolatier doit confectionner 3 oeufs Extra et 5 oeufs Sublime. Son bénéfice sera 210 €. Il utilisera 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 11 kg de lait.
Une entreprise fabrique deux produits qu'elle désire vendre aux USA. Le produit A rapporte 4 € par kg et le produit B rapporte 6 € par kg. Ayant des moyens financiers limités, la société ne peut affréter qu'un seul avion. Celui-ci ne peut transporter que 50 tonnes et a un volume de 2100 m3. Le produit A a un volume de 30 m3 par tonne ; le produit B a un volume de 70 m3 par tonne.
Combien de kg de chaque produit l'entreprise doit-elle mettre dans l'avion afin de maximiser ses gains ?
Un fabricant de raquettes de tennis fait un bénéfice de 8 € sur chaque raquette ordinaire et de 15 € sur chaque grande raquette. Pour satisfaire à la demande des vendeurs, la production journalière de raquettes ordinaires devrait se situer entre 30 et 80, et la production journalière de grandes raquettes entre 10 et 30. Pour maintenir une bonne qualité, le nombre de raquettes produites ne devrait dépasser 80 par jour.
Combien de raquettes de chaque type faudrait-il fabriquer quotidiennement pour réaliser un bénéfice maximum ?
Un teinturier dispose de deux différents types de produits sous forme de poudre pour colorer du tissu brut en couleur indigo. Ces deux produits, IND1 et IND2, contiennent trois substances, A, B et C, en concentrations suivantes (en g par kg) :
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| IND1 | 500 | 150 | 20 |
| IND2 | 400 | 50 | 0 |
Dans un bain qui permet de teinter 10 kg de tissu, il faut au moins 500 g de la substance A, 100 g de B et 5 g de C. De plus, la quantité de la substance C ne doit pas dépasser 15 g par bain.
Sachant que le produit IND1 coûte 10 € par kg et que IND2 coûte 20 € par kg, quel est le prix minimal que le teinturier devra payer pour pouvoir colorer 10 kg de tissu ?
Trois substances X, Y et Z contiennent chacune quatre ingrédients A, B, C et D. Le pourcentage de chaque ingrédient et le coût, en centimes par gramme, de chaque substance sont indiqués dans le tableau ci-dessous :
| A | B | C | D | coût | |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 20% | 10% | 25% | 45% | 25 ct |
| Y | 20% | 40% | 15% | 25% | 35 ct |
| Z | 10% | 20% | 25% | 25% | 50 ct |
Si le coût doit être minimal, combien de grammes de chaque substance faudrait-il amalgamer pour obtenir un mélange de 20 grammes contenant au moins 14% de A, 16% de B et 20% de C ? Quel serait le mélange le plus coûteux ?
Un problème de la programmation linéaire, peut-il avoir :