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Un fabricant de fils téléphoniques produit trois types de fils (F1, F2 et F3) de différents sections et obtenus à l'aide de cuivre enrichi de cadmium pour F1 et F2 ou de cadmium et d'étain pour F3. Le tableau suivant donne les ressources nécessaires pour fabriquer 100 mètres de chacun de ces fils, le profit par 100 mètres de chaque fil, ainsi que la quantité disponible de chaque ressource.
| F1 | F2 | F3 | stock | |
|---|---|---|---|---|
| cuivre (kilogrammes) | 9 | 5 | 6 | 600 |
| cadmium (décagrammes) | 2 | 1 | 2 | 150 |
| étain (décagrammes) | 0 | 0 | 1 | 60 |
| travail (jours) | 1 | 1 | 1 | 90 |
| profit (dizaines d'euros) | 42 | 39 | 52 |
Écrire le problème de maximisation du profit de l'entreprise puis résoudre celui-ci à l'aide de l'algorithme du simplexe.
Écrire le problème dual du problème précédent. En donner une solution.
Le profit sur le fil F1 a été mal évalué. La solution optimale est-elle modifiée si celui-ci passe de 420€ à 480€ (pour 100 m) ? s'il passe de 420€ à 540€ ? Dans chaque cas, on donnera, le cas échéant, la nouvelle solution optimale.
A cause des fluctuations sur le marché de l'étain, le profit associé à F3 varie. En supposant le profit associé à F1 de nouveau égal à 420€ à l'hectomètre, trouver l'intervalle de variation du profit associé à F3, dans lequel la solution trouvée dans Exercice 1 reste optimale.
Pour cet exercice, on suppose que le profit associé au F1 vaut 540€ comme il était envisagé dans Exercice 3. On peut de plus obtenir de l'étain au prix de 3€ par décagramme ; on peut aussi, moyennant une prime de 200€ par jour supplémentaire, augmenter le nombre de jours que les ouvriers consacrent à la production. Conseilleriez-vous d'avoir recours à l'une ou l'autre de ces possibilités, ou les deux ? On donnera, le cas échéant, une indication sur la quantité d'étain à acheter ou/et le nombre de jours supplémentaires.
On revient sur les données initiales. En fait, l'entreprise envisage de produire un nouveau fil, nécessitant 8 kilogrammes de cuivre et 2 décagrammes de cadmium pour 100 mètres. Comme pour les autres fils, il faut un jour de travail pour en produire 100 mètres. Le profit vaut 550€ à l'hectomètre. Est-il intéressant de fabriquer ce fil ? Si oui, quel nouveau plan de production faut-il adopter ?
Finalement, l'entreprise ne produit pas le fil de l'exercice précédent, mais décide de protéger les fils F2 et F3 en les gainant avec du polythène. Sachant qu'on dispose de 80 hectomètres de gaine, quelle est la nouvelle solution optimale ?